常州大學(xué)嘗試教育科學(xué)研究院 / 邱學(xué)華
前一講談了分?jǐn)?shù)的教材編排和概念教學(xué)，這一講接著談分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的教學(xué)難點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略。
從四則運(yùn)算的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算比較困難，因?yàn)樗谋磉_(dá)形式、運(yùn)算操作過(guò)程，以及說(shuō)理過(guò)程都同整數(shù)和小數(shù)四則運(yùn)算不同。
有人會(huì)說(shuō)，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算只是一種運(yùn)算，有何困難呢？且慢下這個(gè)結(jié)論。
馬立平著的《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》一書中引用了一個(gè)測(cè)試：計(jì)算
受測(cè)的２１位美國(guó)數(shù)學(xué)教師竟有１２人（占５７％）做錯(cuò)了。他們都是本科生，有的還是碩士研究生。
各種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)課本，大都在五年級(jí)下學(xué)期學(xué)分?jǐn)?shù)加減法，六年級(jí)上學(xué)期學(xué)分?jǐn)?shù)乘除法，橫跨兩個(gè)學(xué)期。在分?jǐn)?shù)加減法前面，先學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分和通分，為學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法打好基礎(chǔ)，在分?jǐn)?shù)乘除法后面，延伸學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算。這部分教學(xué)的內(nèi)容多、概念多，說(shuō)理要求高，不可能一一論述，我以問(wèn)答的形式，就幾個(gè)問(wèn)題剖析教學(xué)難點(diǎn)以及應(yīng)對(duì)策略。
所謂核心概念是指最重要的、經(jīng)常要運(yùn)用的、起關(guān)鍵作用的概念。按此標(biāo)準(zhǔn)衡量應(yīng)該有兩個(gè)：一是分?jǐn)?shù)單位，二是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)。這兩個(gè)核心概念貫穿這部分教材的始終。
異分母分?jǐn)?shù)加減法為什么要先通分？分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算法則如何理解？這些都要用分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，才能說(shuō)清楚。因此，在分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的教學(xué)中，教師不能讓學(xué)生光顧著計(jì)算，必須運(yùn)用分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的概念來(lái)講清算理。概念先行，才能真正學(xué)好計(jì)算。
整數(shù)和小數(shù)四則運(yùn)算，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了４年多，達(dá)到了“根深蒂固、深入人心”的地步，從心理學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，已經(jīng)形成思維定式，會(huì)干擾分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)。如學(xué)生可能出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：
一看就知道，學(xué)生受整數(shù)加減法的影響，把分母、分子分別相加減，學(xué)生的思維還沒(méi)有進(jìn)入分?jǐn)?shù)計(jì)算的范疇，做錯(cuò)第１題的學(xué)生還不承認(rèn)自己做錯(cuò)了，振振有詞地辯解道：1/2就是兩個(gè)人分一塊餅，兩個(gè)人分一塊餅加上兩個(gè)人分一塊餅，不就是四個(gè)人分兩塊餅嗎？原來(lái)這個(gè)學(xué)生連分?jǐn)?shù)的意義還沒(méi)有搞清楚，問(wèn)題出在教師舉例不當(dāng)。
教學(xué)時(shí)，教師特別要強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)單位的運(yùn)用。
分?jǐn)?shù)單位是1/5，4個(gè)1/5加3個(gè)1/5等于7個(gè)1/5。開始時(shí)，每一道題都要求學(xué)生這樣說(shuō)，不斷強(qiáng)化，不能怕麻煩。
為什么分母不變，只要分子相加減呢？有的學(xué)生雖然明白了道理，但是心里還是有疑惑。我上過(guò)這堂課，問(wèn)學(xué)生還有什么問(wèn)題，有一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“道理我明白了，可我總是有點(diǎn)不相信?！睘榇?，我舉了一個(gè)通俗易懂的例子。
５元＋３元＝８元 寫成豎的形式
我說(shuō)，元是單位名稱，要不要寫兩個(gè)元字。學(xué)生一下子恍然大悟，連說(shuō)：“這下，我懂了?！?/span>
“比較分?jǐn)?shù)大小”中，學(xué)生已經(jīng)知道異分母分?jǐn)?shù)必須先通分，轉(zhuǎn)化成相同分母的分?jǐn)?shù)才能比較大小。因?yàn)榉帜赶嗤謹(jǐn)?shù)單位就相同，相同分?jǐn)?shù)單位才能比較大小。
這里回想起前一講中，我曾談到美國(guó)很多初二學(xué)生把1/3-1/4都做錯(cuò)了，就是忘了先要通分，才能計(jì)算。這里還是要強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。為了讓學(xué)生明白道理，加深印象，教師可補(bǔ)充以下練習(xí)：
５元－３角＝２元，錯(cuò)在單位不同，不能直接減。
５元－０.３元＝４.７元，轉(zhuǎn)化成相同單位才能減。
１２ｍ－８ｃｍ＝４ｍ，錯(cuò)在單位不同，不能直接減。
１２００ｃｍ－８ｃｍ＝１１9２ｃｍ，轉(zhuǎn)化成相同單位才能減。
相同道理，必須先轉(zhuǎn)化成相同單位。
分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母，這個(gè)法則同整數(shù)計(jì)算法則相近，學(xué)生容易接受。我上過(guò)這堂課，學(xué)生自學(xué)例題后都會(huì)做了，僅用４分鐘就搞定了，但要講清為什么要這樣算的道理就比較困難了。教師教學(xué)中切忌只用抽象的說(shuō)理，應(yīng)該采用直觀的圖解方法。例如，
根據(jù)上面圖解，我們可以清楚地看出是由分?jǐn)?shù)乘法的意義（求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少）決定的，分母乘分母表示單位“１”一共平均分成幾份，先平均分成５份，再平均分成３份，一共平均分成１５份；分子乘分子表示一共取其中的幾份，先?。捶荩贁U(kuò)大２倍，一共?。阜?。
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)同整數(shù)乘法的意義一致。
上面算式是求３個(gè)2/5是多少，2/5是２個(gè)1/5，乘３就是６個(gè)1/5，因此，整數(shù)只要乘分?jǐn)?shù)中的分子，無(wú)須乘分母。教師教學(xué)時(shí)用上分?jǐn)?shù)單位這個(gè)概念來(lái)解釋，學(xué)生更容易接受。
還有一個(gè)辦法，是把整數(shù)轉(zhuǎn)化成分母是１的分?jǐn)?shù)，這樣同分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)統(tǒng)一起來(lái)，省去很多麻煩。
四則運(yùn)算中分?jǐn)?shù)最難，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算中又是除法最難。所以，分?jǐn)?shù)除法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難上加難。中學(xué)數(shù)理化中分?jǐn)?shù)除法經(jīng)常會(huì)用到，必須讓學(xué)生認(rèn)真學(xué)好。
過(guò)去課本上，分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則表述為：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，可將這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘。現(xiàn)在新課標(biāo)的課本中表達(dá)為：除以一個(gè)數(shù)（０除外），就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這兩個(gè)表述，學(xué)生都難以理解。怎么明明是除，一會(huì)變成乘法了呢？真是眼睛一眨，老母雞變成鴨了。這同他們頭腦中原來(lái)的知識(shí)儲(chǔ)備大相徑庭，所以本文開頭介紹，分?jǐn)?shù)除法，連美國(guó)不少教師都會(huì)做錯(cuò)。
怎樣向?qū)W生解釋這個(gè)道理，大家想了很多的辦法，我也做過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：從整數(shù)除法和分?jǐn)?shù)乘法的意義來(lái)分析效果較好。
例１：有１５本書，平均分成３份，每份是幾本？１５÷３＝５（本）。
例２：有１５本書，它的1/3是多少？１５×1/3＝５（本）。
例１是整數(shù)除法，例２是分?jǐn)?shù)乘法，可是這兩道題的意義和所求的問(wèn)題卻是一樣的。他們都是把１５本書平均分成３份，求每一份是多少；它們的結(jié)果也一樣，可以寫成等式：１５÷３＝１５×1/3，１５÷3/1＝１５×1/3。３可看作分母是１的分?jǐn)?shù)，將3/1的分子、分母顛倒位置，就得到1/3。所以，上式說(shuō)明了，除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，可將這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘。
現(xiàn)在課本中引進(jìn)倒數(shù)的概念，因?yàn)椋车牡箶?shù)是1/3，所以１５÷３可轉(zhuǎn)化為乘３的倒數(shù)1/3，即１５×1/3。
這個(gè)說(shuō)理過(guò)程簡(jiǎn)單明了，學(xué)生容易接受。這里重點(diǎn)要向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。由于引進(jìn)了分?jǐn)?shù)，乘法和除法的意義都拓展了，除法和乘法可以在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。■
編后語(yǔ)：
一段時(shí)間以來(lái)，邱學(xué)華老師對(duì)口算、筆算、四則運(yùn)算教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了梳理與分析，并提出了解決策略，富有實(shí)踐意義。有意義的互動(dòng)成就編者、作者、讀者之間的良性溝通，我們希望讀者在關(guān)注本專欄的同時(shí)，也能適時(shí)反饋教學(xué)中的問(wèn)題，以及閱讀這一系列文章的思考和建議。
邱老師郵箱：13776884613@126.com；瑯瑯郵箱：648761510@qq.com
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